שיעורי בית - הסתברות

משימה 1

רמת קושי: בינוני נושא: פונקציית הסתברות ומקדם נרמול

הוראות:

$X$ הוא משתנה מקרי (מ"מ) בעל פונקציית ההסתברות הבאה: $$P_X(x) = f_X(x) = \begin{cases} a \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x & x=1,2,3,4,5 \\ 0 & \text{else} \end{cases}$$ חשבו את הקבוע $a$.

תכנית פעולה:

נשווה את סכום כל ההסתברויות ל-1.
נזהה שהסכום הוא סדרה הנדסית סופית (או נחבר ידנית).
נחלץ את הנעלם $a$ מתוך המשוואה.

פתרון 1: שימוש בסדרה הנדסית

לפי תכונות של פונקציית הסתברות (PMF), סכום ההסתברויות לכל ערכי $x$ האפשריים חייב להיות שווה ל-1:

$$ \sum_{x=1}^{5} P_X(x) = 1 $$ $$ \sum_{x=1}^{5} a \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x = 1 $$

נוציא את $a$ מחוץ לסכום כי הוא קבוע:

$$ a \cdot \sum_{x=1}^{5} \left(\frac{1}{3}\right)^x = 1 $$

הסכום שנשאר לנו הוא סדרה הנדסית עם 5 איברים ($n=5$).

האיבר הראשון ($x=1$): $\quad a_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}$
מנת הסדרה: $\quad q = \frac{1}{3}$

נוסחת סכום סדרה הנדסית היא: $S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$. נציב את הנתונים שלנו:

$$ S_5 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^5}{1-\frac{1}{3}} $$

נפשט את המכנה ( $1 - 1/3 = 2/3$ ):

$$ S_5 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \frac{1}{243}}{\frac{2}{3}} $$

נצמצם את ה-3 מהמכנים, ונחשב את המונה ($1 - 1/243 = 242/243$):

$$ S_5 = \frac{1}{2} \cdot \frac{242}{243} = \frac{121}{243} $$

עכשיו נחזור למשוואה המקורית שלנו שהייתה $a \cdot S_5 = 1$:

$$ a \cdot \frac{121}{243} = 1 \implies a = \frac{243}{121} $$

פתרון 2: חיבור ידני (ללא נוסחת סכום)

מכיוון שיש לנו רק 5 ערכים אפשריים, סטודנטים רבים מעדיפים לחבר אותם ידנית ולהגיע למכנה משותף:

$$ a \cdot \left( \frac{1}{3^1} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{3^5} \right) = 1 $$ $$ a \cdot \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243} \right) = 1 $$

נרחיב את כל השברים למכנה המשותף 243:

$$ a \cdot \left( \frac{81 + 27 + 9 + 3 + 1}{243} \right) = 1 $$ $$ a \cdot \frac{121}{243} = 1 \implies a = \frac{243}{121} $$

טעויות נפוצות:

טעות בהצבת האיבר הראשון: סטודנטים רבים מציבים בטעות $a_1 = 1$. שימו לב שהסכום מתחיל מ-$x=1$, לכן מציבים 1 בחזקה ומקבלים $a_1 = 1/3$.
הכנסת ה-$a$ פנימה והסתבכות: עדיף תמיד להוציא קבועים מחוץ לסימן ה- $\sum$, זה עושה סדר בעיניים.

משימה 2

רמת קושי: בינוני נושא: סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

הוראות:

$X$ הוא מ"מ בעל פונקצית ההסתברות הבאה: $$P_X(x) = f_X(x) = \begin{cases} a \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x & x=1,2,3,... \\ 0 & \text{else} \end{cases}$$ חשבו את הקבוע $a$.

תכנית פעולה:

כמו במשימה 1, נדרוש שסכום ההסתברויות יהיה 1.
נבחין שגבולות הסכום הם מ-1 ועד אינסוף.
נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת.
נפתור משוואה פשוטה עבור $a$.

פתרון מפורט:

נרשום את דרישת הנרמול:

$$ \sum_{x=1}^{\infty} a \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x = 1 $$

נוציא את הקבוע $a$ החוצה:

$$ a \cdot \sum_{x=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^x = 1 $$

כעת נחשב את הסכום האינסופי שנותר. זוהי סדרה הנדסית אינסופית.

האיבר הראשון מחושב עבור $x=1$, לכן $\quad a_1 = \frac{1}{3}$
מנת הסדרה $\quad q = \frac{1}{3}$

מכיוון ש- $|q| < 1$, הסכום מתכנס וניתן לחשב אותו בעזרת הנוסחה המקוצרת $S = \frac{a_1}{1-q}$ :

$$ S = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} $$

שיטת "האוזן" או פשוט הכפלה בהופכי, מצמצמת את ה-3 מהמכנים, ונקבל:

$$ S = \frac{1}{2} $$

נחזור למשוואה שלנו המכילה את $a$:

$$ a \cdot \frac{1}{2} = 1 \implies a = 2 $$

טעויות נפוצות:

שימוש בנוסחה הלא נכונה: שימוש בנוסחה הסופית עם $n$ מבלבל כשיש אינסוף איברים. זכרו את הנוסחה המקוצרת לסכום אינסופי.
פחד מהאינסוף: סטודנטים רואים 3 נקודות $...$ ונבהלים. בהסתברות, מודלים אינסופיים (כמו התפלגות גיאומטרית) הם נפוצים מאוד, והמתמטיקה שלהם הרבה יותר אלגנטית ומצטמצמת בקלות מאשר סכומים סופיים.

משימה 3

רמת קושי: קל נושא: סיווג משתנים

הוראות:

עבור כל אחד מהמשתנים הבאים קבע האם הוא מ"מ בדיד או רציף:

א. משתנה X - מספר התאונות בשנה בתל אביב
ב. משתנה K - כמות החלב שפרה נותנת בשנה
ג. משתנה Y - מספר הרשיונות שמשרד התחבורה נותן כל חודש
ד. משתנה M - אורך משחק כדורגל (בזמן)
ה. משתנה N - מספר הביצים שתרנגולת מטילה כל חודש
ו. משתנה G - כמות החיטה המתקבלת משדה בעונה

פתרון והסבר:

א. X - מספר התאונות: בדיד
הסבר: אפשר לקבל 0 תאונות, 1 תאונה, 2 תאונות. אי אפשר לקבל "2.3 תאונות". מדובר בספירה.
ב. K - כמות החלב שפרה נותנת (נפח/משקל): רציף
הסבר: חלב נמדד בליטרים או ק"ג. פרה יכולה לתת 10.5 ליטר, או 10.54 ליטר. הערכים הם על רצף אינסופי.
ג. Y - מספר רישיונות: בדיד
הסבר: רישיונות הם עצמים שסופרים אותם. 5 רישיונות או 6. אי אפשר להנפיק 5.2 רישיונות.
ד. M - אורך משחק כדורגל (זמן): רציף
הסבר: זמן הוא תמיד משתנה רציף. המשחק יכול להימשך בדיוק 90.00 דקות או 94 דקות, 12 שניות ו-3 מאיות השנייה. יש אינסוף ערכים אפשריים.
ה. N - מספר ביצים: בדיד
הסבר: שוב מדובר בפעולת ספירה של חפצים שלמים.
ו. G - כמות חיטה (משקל): רציף
הסבר: משקל נמדד על רצף. יכול להיות 100 ק"ג, 100.1 ק"ג, וכו'.

טעויות נפוצות:

בלבול בין "מספר של..." לכמות נמדדת: קל להתבלבל ולחשוב שמשקל הוא בדיד כי "המשקל הראה 70 קילו עגול". תמיד תשאלו את עצמכם האם ערך ביניים (כמו 70.15) הוא אפשרי פיזיקלית במציאות - אם כן, המשתנה הוא רציף.
זמן הוא תמיד בדיד כי הוא מורכב מדקות/שניות: טעות נפוצה! זמן הוא רצף אינסופי. העובדה שאנחנו "מעגלים" או מודדים אותו בעזרת יחידות בדידות בשעון לא הופכת את המשתנה עצמו לבדיד.

משימה 4

רמת קושי: קשה נושא: טרנספורמציה של מ"מ, CDF ותוחלת

הוראות:

זורקים קובייה הוגנת פעם אחת. נסמן ב-$X$ משתנה מקרי המתאר את הפאה עליה נפלה הקובייה.

נגדיר משתנה מקרי חדש $Y$ באופן הבא:

$$ Y = \begin{cases} 2^X & X \in \{2,4,6\} \quad (\text{even}) \\ X^2 - 5 & X \in \{1,3,5\} \quad (\text{odd}) \end{cases} $$

א. בנה פונקציית הסתברות (PMF) של $Y$.
ב. בנה פונקציית התפלגות (CDF) מצטברת של $Y$.
ג. חשב את התוחלת של $Y$, כלומר $E[Y]$.

תכנית פעולה:

ניצור טבלה הממפה כל ערך אפשרי של המשתנה $X$ לערך ה-$y$ המתאים לו.
נרכז את הערכים הזהים של $y$ ונסכום את ההסתברויות שלהם כדי לקבל את פונקציית ההסתברות של $Y$.
נבנה פונקציית מדרגות עבור פונקציית ההתפלגות $F(y)$.
נחשב תוחלת על ידי סכימת המכפלות $y \cdot P(y)$.

סעיף א: פונקציית ההסתברות (PMF)

הקובייה הוגנת, לכן לכל אחת מהפאות יש הסתברות של $\frac{1}{6}$. נחשב את $y$ עבור כל $X$:

$X$ (תוצאת הקובייה)	זוגי/אי-זוגי	חישוב $y$	הסתברות $P(X=x)$
1	אי-זוגי	$1^2 - 5 = \mathbf{-4}$	1/6
2	זוגי	$2^2 = \mathbf{4}$	1/6
3	אי-זוגי	$3^2 - 5 = \mathbf{4}$	1/6
4	זוגי	$2^4 = \mathbf{16}$	1/6
5	אי-זוגי	$5^2 - 5 = \mathbf{20}$	1/6
6	זוגי	$2^6 = \mathbf{64}$	1/6

שימו לב! התוצאה $y=4$ התקבלה פעמיים (גם מ-$X=2$ וגם מ-$X=3$). לכן ההסתברות שלה היא $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6}$.

נאחד ונכתוב את פונקציית ההסתברות של $Y$ (מסודרת מהקטן לגדול):

$$ P_Y(y) = \begin{cases} 1/6 & y = -4 \\ 2/6 & y = 4 \\ 1/6 & y = 16 \\ 1/6 & y = 20 \\ 1/6 & y = 64 \\ 0 & \text{אחרת} \end{cases} $$

סעיף ב: פונקציית התפלגות מצטברת (CDF)

פונקציה זו, המסומנת ב- $F_Y(y)$, צוברת את ההסתברויות ככל ש-$y$ גדל. היא מוגדרת תמיד באמצעות טווחים:

$$ F_Y(y) = P(Y \le y) = \begin{cases} 0 & y < -4 \\ 1/6 & -4 \le y < 4 \\ 3/6 & 4 \le y < 16 \quad (* \ \text{הוספנו} \ 2/6) \\ 4/6 & 16 \le y < 20 \\ 5/6 & 20 \le y < 64 \\ 1 & y \ge 64 \end{cases} $$

סעיף ג: תוחלת

התוחלת מחושבת על ידי הכפלת כל ערך בהסתברות שלו, וחיבור הכל:

$$ E[Y] = \sum y \cdot P(y) $$ $$ E[Y] = (-4)\cdot\frac{1}{6} + (4)\cdot\frac{2}{6} + (16)\cdot\frac{1}{6} + (20)\cdot\frac{1}{6} + (64)\cdot\frac{1}{6} $$

נוציא את המכנה 6 מחוץ לסוגריים כדי להקל על החישוב:

$$ E[Y] = \frac{-4 + 8 + 16 + 20 + 64}{6} = \frac{104}{6} = \frac{52}{3} \approx 17.33 $$

טעויות נפוצות:

שכחה לאחד תוצאות זהות: להשאיר שתי שורות נפרדות עבור $y=4$ במקום לאחד אותן ולהגיד שההסתברות היא $2/6$. תמיד חשוב לאחד ערכי $y$ זהים בבניית PMF חדש.
כתיבת CDF ללא טווחים: סטודנטים לעיתים כותבים $F(y)$ רק עבור הערכים עצמם במקום לכתוב זאת בצורה של מדרגות עם תחומי אי-שוויונים. CDF קיים *לכל* מספר ממשי (גם ל- $y=10$, למשל, שם הערך הוא 3/6).

משימה 5

רמת קושי: קשה נושא: קומבינטוריקה - התפלגות היפרגאומטרית

הוראות:

מחפיסת קלפים תקנית (52 קלפים) נמשכים 4 קלפים ללא החזרה.
$X$ מציין את מספר קלפי התלתן ($\clubsuit$) שנמשכו מהחפיסה.
מצאו את פונקציית ההסתברות של המשתנה המקרי $X$.

תכנית פעולה:

נזהה את אוכלוסיית המקור: 52 קלפים (13 תלתן, 39 שאר הצורות).
נבין שמדובר בהוצאה ללא החזרה, לכן יש להשתמש בקומבינטוריקה (נוסחת ההיפרגאומטרית).
נגדיר את המרחב המדגמי הכולל (בחירת 4 קלפים מתוך 52).
נבנה נוסחה כללית עבור $P(X=k)$ כאשר $k \in \{0,1,2,3,4\}$.

פתרון מפורט:

הנתונים שלנו:

סה"כ קלפים בחפיסה ($N$): 52
מספר קלפי המטרה - תלתן ($K$): 13
מספר שאר הקלפים: $52 - 13 = 39$
גודל המדגם שאנחנו מוציאים ($n$): 4

כדי למצוא את ההסתברות לקבל בדיוק $x$ קלפי תלתן, עלינו:

לבחור $x$ קלפים מתוך 13 קלפי התלתן הקיימים: $\binom{13}{x}$
לבחור את שאר הקלפים (שהם לא תלתן), כלומר $4-x$ קלפים, מתוך 39 הנותרים: $\binom{39}{4-x}$
לחלק בסך כל האפשרויות לבחור 4 קלפים מתוך 52: $\binom{52}{4}$

לכן, הנוסחה הכללית לפונקציית ההסתברות היא:

$$ P(X=x) = \frac{\binom{13}{x} \cdot \binom{39}{4-x}}{\binom{52}{4}} $$

ונפרט את הערכים האפשריים (אפשר להשאיר כך בבחינה אלא אם התבקשתם לחשב מספרית):

$$ P_X(x) = \begin{cases} \frac{\binom{13}{0} \binom{39}{4}}{\binom{52}{4}} & x = 0 \\[1ex] \frac{\binom{13}{1} \binom{39}{3}}{\binom{52}{4}} & x = 1 \\[1ex] \frac{\binom{13}{2} \binom{39}{2}}{\binom{52}{4}} & x = 2 \\[1ex] \frac{\binom{13}{3} \binom{39}{1}}{\binom{52}{4}} & x = 3 \\[1ex] \frac{\binom{13}{4} \binom{39}{0}}{\binom{52}{4}} & x = 4 \\[1ex] 0 & \text{אחרת} \end{cases} $$

טעויות נפוצות:

שימוש שגוי בהתפלגות בינומית: טעות נפוצה היא לחשוב שההסתברות להוציא תלתן היא תמיד $1/4$ ולהשתמש בנוסחת ברנולי (בינומית). זה היה נכון רק אם היינו מחזירים את הקלף לחפיסה אחרי כל משיכה ומערבבים. כיוון שמושכים בבת אחת (או ללא החזרה), ההסתברות משתנה ממשיכה למשיכה ויש להשתמש בקומבינציות.
לשכוח לבחור את השאר: סטודנטים לעיתים כותבים רק במונה $\binom{13}{x}$ ושוכחים שחייבים להשלים את היד ל-4 קלפים על ידי הכפלה ב- $\binom{39}{4-x}$.

משימה 6

רמת קושי: קשה נושא: חילוץ נתונים מפונקציית התפלגות

המשימה נוסחה מחדש בצורה מלאה וברורה לצורך למידה.

הוראות:

למשתנה מקרי בדיד $T$ נתונה פונקציית ההתפלגות המצטברת (CDF) הבאה:

$$ F(t) = \begin{cases} 0 & t < 1 \\ 1/4 & 1 \le t < 3 \\ 1/2 & 3 \le t < 5 \\ 3/4 & 5 \le t < 7 \\ 1 & t \ge 7 \end{cases} $$

מצאו את:

א. פונקציית ההסתברות הנקודתית (PMF) של $T$.
ב. ההסתברות $P(T \ge 3)$.
ג. התוחלת של $T$.

תכנית פעולה:

נחלץ את הערכים האפשריים (נקודות ה"קפיצה").
נחשב את גובה הקפיצה בכל נקודה כדי למצוא את ה-PMF.
נשתמש ב-PMF (או ב-CDF ישירות) כדי לחשב הסתברויות מתקדמות.
נחשב תוחלת כרגיל באמצעות סכימת $\sum t \cdot P(t)$.

פתרון סעיף א: פונקציית ההסתברות

נזהה את נקודות הקפיצה (הערכים של $T$) ונחשב את ההסתברויות (גובה הקפיצה):

ב-$t=1$: הפונקציה קפצה מ-0 ל-$1/4$. לכן $P(1) = 1/4 - 0 = \mathbf{1/4}$.
ב-$t=3$: הפונקציה קפצה מ-$1/4$ ל-$1/2$. לכן $P(3) = 1/2 - 1/4 = \mathbf{1/4}$.
ב-$t=5$: הפונקציה קפצה מ-$1/2$ ל-$3/4$. לכן $P(5) = 3/4 - 1/2 = \mathbf{1/4}$.
ב-$t=7$: הפונקציה קפצה מ-$3/4$ ל-1. לכן $P(7) = 1 - 3/4 = \mathbf{1/4}$.

נרשום את פונקציית ההסתברות:

$$ P(T=t) = \begin{cases} 1/4 & t \in \{1, 3, 5, 7\} \\ 0 & \text{אחרת} \end{cases} $$

פתרון סעיף ב: $P(T \ge 3)$

דרך א' (בעזרת PMF): נחבר את ההסתברויות של הערכים שעונים על התנאי:

$$ P(T \ge 3) = P(3) + P(5) + P(7) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \mathbf{\frac{3}{4}} $$

דרך ב' (בעזרת המשלים וה-CDF): המאורע המשלים ל-"גדול או שווה ל-3" הוא "קטן ממש מ-3".

$$ P(T \ge 3) = 1 - P(T < 3) $$

ההסתברות ש-$T$ קטן ממש מ-3 מחושבת על ידי הגבול משמאל לפונקציית ההתפלגות, כלומר $F(3^-)$.

$$ P(T < 3) = F(3^-) = \frac{1}{4} $$

במקרה שלנו (משתנה בדיד עם ערכים $\{1,3,5,7\}$), הערך המצטבר עד רגע לפני 3 הוא בעצם ההסתברות עד 1 (כולל). לכן נקבל:

$$ 1 - \frac{1}{4} = \mathbf{\frac{3}{4}} $$

פתרון סעיף ג: תוחלת

חישוב רגיל לפי נוסחת התוחלת:

$$ E[T] = \sum t \cdot P(t) = 1\cdot\frac{1}{4} + 3\cdot\frac{1}{4} + 5\cdot\frac{1}{4} + 7\cdot\frac{1}{4} $$ $$ E[T] = \frac{1+3+5+7}{4} = \frac{16}{4} = \mathbf{4} $$

טעויות נפוצות:

שימוש ב-$F(t)$ כאילו הוא $P(t)$: טעות קטלנית היא להציב ערכים ישירות לתוך פונקציית המדרגות ולחשוב שזו ההסתברות לקבל אותם (למשל להגיד בטעות שההסתברות לקבל 5 היא 3/4). תמיד חיזרו ל-PMF קודם (גובה הקפיצה)!
בלבול במשלימים במשתנה בדיד: במשתנה רציף $P(X \ge 3)$ זה $1 - F(3)$. במשתנה בדיד אי אפשר להשתמש בזה כי יש הסתברות נקודתית ממש על ה-3. הדרך הבטוחה היא להשתמש ב-$1 - F(3^-)$ שזה בעצם הערך שלפני ה-3.

משימה 7

רמת קושי: קל-בינוני נושא: הסתברויות מטבע, התפלגות בינומית ותוחלת

הוראות:

בהטלת מטבע (לא הוגן), ההסתברות לקבלת T (עץ) גדולה פי 3 מההסתברות לקבלת H (פלי).
מצא את תוחלת מספר ה-H (פעמים שהתקבל פלי) שיתקבל ב-2 הטלות של המטבע.

תכנית פעולה:

נבנה משוואה למציאת ההסתברות להצלחה אחת במטבע.
נזהה שהניסוי הוא חזרה על מטבע בלתי תלוי - משמע, התפלגות בינומית.
נשתמש בנוסחת התוחלת של בינומית (ונראה גם דרך חלופית ארוכה יותר למען ההבנה).

פתרון מפורט - מציאת ההסתברות הבסיסית:

נסמן:

הסתברות לקבל פלי: $P(H) = p$
הסתברות לקבל עץ: $P(T) = 3p$ (כי נתון שהיא גדולה פי 3)

כיוון שאלו שתי האפשרויות היחידות במטבע, סכומן הוא 1:

$$ P(H) + P(T) = 1 \implies p + 3p = 1 \implies 4p = 1 \implies p = 1/4 $$

כלומר, ההסתברות ל-H היא 1/4, וההסתברות ל-T היא 3/4.

פתרון 1 - הדרך הקצרה (התפלגות בינומית):

נסמן ב-$X$ את מספר פעמים שקיבלנו H. יש לנו 2 ניסויים בלתי תלויים ($n=2$), עם הסתברות הצלחה קבועה בכל ניסוי ($p=1/4$). לכן $X \sim Bin(2, \frac{1}{4})$.

נוסחת התוחלת למשתנה בינומי היא $E[X] = n \cdot p$. נציב:

$$ E[X] = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \mathbf{0.5} $$

פתרון 2 - הדרך הארוכה והבסיסית (בניית PMF):

הערכים האפשריים של $X$ (מספר הפעמים שיצא H בשתי הטלות) הם 0, 1, או 2.

$P(X=0)$ אומר שיצא (T,T). ההסתברות: $\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$.
$P(X=1)$ אומר שיצא (H,T) או (T,H). ההסתברות: $2 \cdot (\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}) = \frac{6}{16}$.
$P(X=2)$ אומר שיצא (H,H). ההסתברות: $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$.

כעת נחשב תוחלת לפי הנוסחה הכללית $\sum x P(x)$:

$$ E[X] = 0 \cdot \frac{9}{16} + 1 \cdot \frac{6}{16} + 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16} + \frac{2}{16} = \frac{8}{16} = \mathbf{0.5} $$

מסקנה: פתרון 1 הרבה יותר מהיר!

טעויות נפוצות:

בלבול בניסוח פי 3: סטודנטים לעיתים כותבים בטעות $P(H) = 3 P(T)$ למרות שכתוב במפורש שההסתברות ל-T גדולה יותר. קראו היטב מי גדול ממי.

משימה 8

רמת קושי: קל נושא: חישובי תוחלת ותכונותיה (לינאריות)

הוראות:

נתונה הטבלה הבאה, עם ההסתברויות עבור משתנה מקרי בדיד $X$:

$X$	1	2	3	4	5	6	7	8
$P(x)$	0.1	0.1	0.2	0.15	0.08	0.07	0.25	0.05

א. מצא את התוחלת של $X$, כלומר $E[X]$.
ב. מצא את התוחלת של המשתנה המקרי $AX + 5$, כאשר $A$ הוא קבוע.
ג. מצא את התוחלת של המ"מ $X^2 + 2$.

תכנית פעולה:

נוודא שסכום ההסתברויות בטבלה שווה ל-1.
נחשב בזהירות בעזרת מחשבון את $\sum x \cdot P(x)$.
נציב את התוצאה בנוסחת הלינאריות לסעיף ב'.
נחשב את $\sum x^2 \cdot P(x)$ ונוסיף לה 2 לסעיף ג'.

פתרון סעיף א': $E[X]$

בדיקה קצרה: סכום ההסתברויות בטבלה הוא 1 ($0.1+0.1+0.2+0.15+0.08+0.07+0.25+0.05 = 1$), לכן הטבלה תקינה ואפשר להמשיך.

נכפול כל עמודה ונחבר:

$$ E[X] = 1(0.1) + 2(0.1) + 3(0.2) + 4(0.15) + 5(0.08) + 6(0.07) + 7(0.25) + 8(0.05) $$ $$ E[X] = 0.1 + 0.2 + 0.6 + 0.6 + 0.4 + 0.42 + 1.75 + 0.4 = \mathbf{4.47} $$

פתרון סעיף ב': $E[AX + 5]$

לתוחלת יש תכונה נפלאה שנקראת לינאריות. במקום לייצר טבלה חדשה ולחשב הכל מחדש, ניתן לפתוח את התוחלת:

$$ E[AX + 5] = A \cdot E[X] + 5 $$

נציב את $E[X]$ שחישבנו בסעיף א':

$$ E[AX + 5] = \mathbf{4.47 \cdot A + 5} $$

(אם ה-$A$ בתרגיל המקורי היה בעצם מספר, למשל 4, התשובה הייתה $4 \cdot 4.47 + 5 = 22.88$).

פתרון סעיף ג': $E[X^2 + 2]$

נשתמש קודם בלינאריות החלקית של החיבור: $E[X^2 + 2] = E[X^2] + 2$.
עכשיו אנחנו חייבים לחשב את התוחלת של $X^2$. נעלה כל $x$ בטבלה בריבוע ונכפול בהסתברות המקורית (ההסתברויות לא משתנות!):

$$ E[X^2] = 1^2(0.1) + 2^2(0.1) + 3^2(0.2) + 4^2(0.15) + 5^2(0.08) + 6^2(0.07) + 7^2(0.25) + 8^2(0.05) $$ $$ E[X^2] = 1(0.1) + 4(0.1) + 9(0.2) + 16(0.15) + 25(0.08) + 36(0.07) + 49(0.25) + 64(0.05) $$ $$ E[X^2] = 0.1 + 0.4 + 1.8 + 2.4 + 2.0 + 2.52 + 12.25 + 3.2 = \mathbf{24.67} $$

ועכשיו לא לשכוח להוסיף את ה-2 שחיכה לנו:

$$ E[X^2 + 2] = 24.67 + 2 = \mathbf{26.67} $$

טעויות נפוצות:

טעות קטלנית $E[X^2] = (E[X])^2$: לעולם, אבל לעולם אל תעלו את התוחלת הרגילה בריבוע! ראינו ש-$4.47^2 = 19.98$, שזה ממש לא המספר הנכון ($24.67$). ההסתברות לא שומרת על לינאריות בכפל ובחזקה.
העלאת ההסתברויות בריבוע: סטודנטים לפעמים מתבלבלים ומעלים גם את ה-$P(x)$ בריבוע כשהם מחשבים את $E[X^2]$. ה-$P(x)$ תמיד נשאר זהה לטבלה המקורית. הטרנספורמציה מתבצעת רק על ערכי ה-x.